(MM-008) Apreçamento Geral de Derivativos via Integral- Fórmula de Black e Scholes

1.1) 📽 Carteira Replicante e Valor Esperado 36 min

Neste início de curso, em um modelo de árvore binomial, discutimos como o payoff de um derivativo é replicado com uma posição em um ativo de risco e em um bond. Mostramos que as quantidades apropriadas de hedge são coerentes com o apreçamento por valor médio sob uma medida de probabilidade de probabilidade específica, chamada de probabilidade risco-neutra. A análise é feita em uma árvore de um período.

2.1) 📽 Modelo Binomial e Carteira Autofinanciada 30 min

Nesta aula, ampliamos a análise de apreçamento por valor médio sob a probabilidade risco-neutra para vários períodos, via backward-induction, mostrando que há uma probabilidade associada a cada caminho sobre a árvore que leva ao estado de preço do ativo final. Em seguida, montamos um exemplo de replicação de payoff de uma opção de compra de ação a partir de posições na ação e em um título.

3.1) 📽 Filtração e Martigale 39 min

Formalizamos um pouco mais os resultados obtidos nas duas aulas anteriores, ainda fazendo uso de processos discretos em árvores binomiais. Apresentamos os conceitos de filtração, martingale e o Teorema de Representação de Martingales na versão binomial. Com a Lei das Expecativas Iteradas chegamos à relação entre preço e valor médio do payoff descontado para o apreçamento de derivativos.

4.1) 📽 Teorema de Representação Binomial (TRB) e Apreçamento 22 min

Apresentamos o Teorema de Representação Binomial e o utilizamos- juntamente com os conceitos de martingale, quantidades de hedge para montar uma carteira replicante e a Lei das Expectativas Iteradas- para chegar à expressão geral de apreçamento de um derivativo em termos do valor médio, na medida risco-neutra do payoff descontado.

5.1) 📽 Processos Contínuos 44 min

Iniciamos a segunda parte do curso, passando para o estudo dos conceitos apresentados anteriormente agora no caso contínuo. Construímos o movimento browniano, ou processo do Wiener, a partir de um processo de random walk. Em seguida, apresentamos as propriedades de um movimento browniano e fazemos exemplos de identificação do mesmo, Terminamos apresentando a definição de movimento browniano geométrico (MBG).

6.1) 📽 Lema de Itô 49 min

Nesta aula examinamos as modificações necessárias no cálculo newtoniano para que integrais possam ser calculadas no âmbito de variáveis que dependem de movimento browniano. Mostramos que o lema de Itô proporciona a correção e também permite a obtenção de equações diferenciais que representam variáveis dependentes de processos estocásticos.

7.1) 📽 Derivada de Randon-Nikodym: Caso Discreto 20 min

A questão anterior de que há uma medida de probabilidade específica, ideal para o apreçamento de um derivativo, respeitando a replicação de seu payoff, é retomada aqui, agora sob a perspectiva geral de como alterar uma medida de probabilidade qualquer para outra. Apresentamos a taxa de conversão entre medidas como a derivada de Radon-Nikodym, e mostramos como o valor médio é convertido entre uma medida e outra a partir desse fator de conversão.

8.1) Derivada de Randon-Nikodym: Caso Contínuo

9.1) 📽 Teorema de Girsanov 17 min

A derivada de Radon-Nikodym se estende ao caso contínuo, como a forma de transformar uma medida de probabilidade. Vemos intuitivamente como isso é feito através do limite ao contínuo da partição de uma trajetória. Em adição, como a distribuição de probabilidade de um ativo está ligada a seu processo, a transformação de medida de probabilidade, no caso contínuo, é obtida via modificação do processo e isso é feito através do Teorema de Girsanov, que apresentamos nesta aula.

10.1) 📽 Margintale e Teorema de Representação de Martingale (TRM) 32 min

Voltamos ao conceito de martingale, no caso contínuo, mostrando que um ativo cujo processo é um martingale não apresenta drift. Também recordamos a Lei das Expecativas Iteradas e como ela nos fornece um martingale específico: o valor médio, em qualquer medida de probabilidade. Terminamos também estendendo o Teorema de Representação Binomial ao caso contínuo, levando ao Teorema de Representação de Martingale (TRM).

11.1) 📽 Estratégia de Replicação - Caso Contínuo - sem Juros 28 min

Nesta aula juntamos o ferramental que vimos até aqui para elaborar um roteiro que nos leva à equação de apreçamento geral de um derivativo através do valor médio do payoff descontado. Os conceitos de martingale, lema de Itô, mudança de medida, teorema de representação binomial e carteira replicante são usados. Fazemos o desenvolvimento no caso de taxa de juros igual a zero.

12.1) 📽 Estratégia de Replicação - Caso Contínuo - com Juros 0 min

Nesta aula seguimos os mesmos passos da aula anterior, agora considerando a taxa de juros não-nula. O processo que usamos para obter um dos martingales é, então, o processo do preço do ativo descontado.

13.1) 📽 Fórmula de Black-Scholes para o Preço de uma Call 0 min

Nesta aula, resolvemos a integral que representa o preço de um derivativo, obtida na aula passada, no âmbito de um processo lognormal, para o caso de uma call, obtendo a fórmula do preço de Black-Scholes. Em seguida, analisamos a composição de hedge sob a hipótese lognormal, em termos do ativo-base e do título. No caso do ativo-base, chegamos ao resultado clássico de que a quantidade nele investida, para haver replicação do payoff, deve ser o delta do derivativo, com o sinal trocado. Obtemos também a equação diferencial parcial do modelo de Black-Scholes.

14.1) 📽 Gregas 0 min